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关于线性空间定义的一点注记

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为了在使用上方便,对某些概念进行定义时,总会给上更多的限制条件。这样一来,在验证某些概念时就需要验证更多条件,这显然不是我们想要的。但通过下文的证明,这多余的条件其实更加方便使用。本文讨论的是,线性空间八大公理与七大公理等价的问题。目的就是为了说明上面的事实,引导学生学会读书。
 在郭聿琦等主编的《线性代数带引》,或者说任何一本代数学教材,在定义线性空间时均采用了如下的八大公理:
    
 但是笔者在学习过程中发现,从本质上讲,八大公理只需七大公理即可,第一公理可由后七公理导出。本文正是为证明此命题的。
 首先证明两个事实:
 事实一、
事实二、
 说明:为了避免在命题证明过程中出现循环引用的情况,下面的推导过程前后步骤间均给出直接引用的事实,用记号表示这一原则,其中的表示利用公理(2)可由得到。
 证明:
 (事实一)

综上事实一即得证.

 (事实二)

 基于上面两个事实,下面证明下面的命题:
 命题:线性空间中八大公理(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)与七大公理(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)等价。
 可以看出,两大公理体系仅有一个公理的差别,因此为证明此命题只需要公理(1)可以由其余七大公理导出即可。
 证明:必要性是显然成立的;
充分性
只需证明(1)可由(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)推出即可。


 综上全部,命题即得以证明。
 可以看出,上面两个定义的等价性是毋庸质疑的;并且可以看出,在证明的过程中只是反复的引用公理事实。这就启示我们在定义概念时,多加条件其实没有影响,相反还会简化我们验证的过程,否则每次都要重复上面的过程去验证交换律,这就是公理化体系的优点。
 这个命题是由我的恩师王正攀转述给我们的,他得之于郭聿琦教授。
参考文献
[1]郭聿琦.岑嘉评.徐贵桐.线性代数导引[M].北京:科学出版社,2001.


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